Το μάθημα έχει ως στόχο να εισαγάγει τις βασικές θεμελιώδεις ιδέες και τεχνικές της γραμμικής άλγεβρας  τις  οποίες   θα συναντήσουν  οι φοιτητές σε πολλά άλλα βασικά και προχωρημένα μαθήματα,  καθώς και στην επίλυση  γραμμικών συστημάτων  τα οποία προκύπτουν από τη μοντελοποίηση φυσικών φαινομένων.Το μάθημα ξεκινά με έμφαση στην Άλγεβρα Πινάκων και Διανυσμάτων και συνεχίζει με τις Άμεσες Μέθοδους Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. Παρουσιάζεται η έννοια και ο υπολογισμός του αντίστροφου και της ορίζουσας ενός πίνακα. Στη συνέχεια  δίνεται ο  ορισμός του  διανυσματικού χώρου  και υπόχωρου και βλέπουμε πως σχετίζονται  με  τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων. Ορίζονται οι έννοιες της γραμμικής ανεξαρτησίας, της βάσης και διάστασης ενός διανυσματικού χώρου. Ορίζεται ο συμπληρωματικός υπόχωρος ενός υποχώρου και πως μπορούμε να βρούμε την προβολή επί ενός υποχώρου. Εισάγονται οι έννοιες και ο υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιάνυσμάτων. Εξετάζεται η διαγωγονοποίηση ενός πίνακα και εφαρμογές της, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Η τελευταία ενότητα περιλαμβάνει τις βασικές κλασσικές επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης γραμμικών συστημάτων.

Μετά την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, ένας φοιτητής/τρια θα είναι σε θέση να :

• Κατανοεί τις βασικές έννοιες, ιδιότητες και πράξεις διανυσμάτων και πινάκων.
• Κατανοεί τις βασικές κατηγορίες πινάκων και με βάση των μαθηματικών τους ιδιοτήτων (τετραγωνικοί, μη-τετραγωνικοί, συμμετρικοί, ορθογώνιοι, θετικά/αρνητικά ορισμένοι, αντιστρέψιμοι κτλ.)
• Κατανοεί τις βασικές έννοιες της γραμμικής εξάρτησης ή ανεξαρτησίας διανυσμάτων, την έννοια της βάσης και παραγωγής ενός διανυσματικού χώρου.
• Επιλύει ιδιόμορφα ή μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων  με τη χρήση μεθόδων/αλγορίθμων απαλοιφής.
• Είναι σε θέση να εφαρμόσει βασικές τεχνικές της γραμμική άλγεβρας για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα, όταν υπάρχει.
• Μπορεί να υπολογίζει τους θεμελιώδεις υποχώρους ενός πίνακα (μηδενοχώρο, χώρο γραμμών και στηλών) καθώς και την τάξη  και να κατανοεί τη σχέση αυτών με τα γραμμικά συστήματα εξισώσεων.
• Να υπολογίζει την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα, το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο, τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματά του καθώς και τη διαγώνια μορφή του, όταν αυτό είναι δυνατόν.
• Να εφαρμόζει την Gram-Schmit ορθοκανονικοποίηση  και να ορθοκανονικοποιεί την βάση ενός διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διάστασης.
• Σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, να βρίσκει την προβολή σ’ ένα υπόχωρο  καθώς και   τον συμπληρωματικό υπόχωρο  ενός υποχώρου.
• Να γνωρίζει βασικές εφαρμογές της Γραμμικής Άλγεβρας, κανόνα Cramer, μέθοδο ελαxίστων τετραγώνων, απλές αλυσίδες Markov.

• Αυτόνομη εργασία

Θεωρία: Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα και στην Άλγεβρα Πινάκων και Διανυσμάτων. Άμεσοι Μέθοδοι Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. Ορίζουσες.  Διανυσματικοί χώροι, υπόχωροι. Γραμμική ανεξαρτησία διανσυσμάτων, βάση ενός χώρου.Θεμελειώδεις Υπόχωροι ενός πίνακα. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Διαγωνοποίηση και εφαρμογές. Gram-Schmidt ορθοκανονικοποίηση, μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Επαναληπτικές Μεθόδοι Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων. Ασκήσεις.

Εργαστήρια: Εισαγωγή στη χρήση και τον προγραμματισμό του λογισμικού πακέτου MATLAB με έμφαση στα προβλήματα και τη θεωρία της Γραμμικής Άλγεβρας καθώς και των αλγορίθμων επίλυσης γραμμικών συστημάτων. Κατασκευή και προσπέλαση διανυσμάτων και πινάκων, πράξεις, πρωτεύουσες συναρτήσεις και υποσυναρτήσεις.

Ι. Γραπτή εξέταση η οποία περιλαμβάνει επίλυση προβλημάτων και ερωτήσεις κατανόησης της θεωρίας. Συντελεστής 80%.

ΙΙ. Δύο εξετάσεις εργαστηρίου στον υπολογιστή στην υλοποίηση και εφαρμογή της θεωρίας σε πρακτικά προβλήματα εφαρμογών με χρήση του λογισμικού MATLAB. Συντελεστής 20%.

• G.Strang, “Γραμμική Άλγεβρα και Εφαρμογές», Παν. Εκδόσεις Κρήτης.
• Γραμμική άλγεβρα, Δονάτος Γεώργιος Σ., Αδάμ Μαρία Χ., Gutenberg